Question

3．若$α∈（\frac{π}{2}，π）$，且$3cos2α=sin（\frac{π}{4}-α）$，則cos2α的值為（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{35}}}{18}$
• B． $\frac{{\sqrt{35}}}{18}$
• C． $\frac{17}{18}$
• D． $-\frac{17}{18}$

Answer 1

分析 利用二倍角公式及正弦函數(shù)兩角差公式得到cosα+sinα=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，從而求出sin2α=-$\frac{17}{18}$，由此能求出cos2α．

解答 解：∵$α∈（\frac{π}{2}，π）$，且$3cos2α=sin（\frac{π}{4}-α）$，
∴3（cos²α-sin²α）=sin$\frac{π}{4}$cosα-cos$\frac{π}{4}$sinα，
即3（cosα-sinα）（cosα+sinα）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα-sinα），
∴cosα+sinα=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，
∴1+sin2α=$\frac{1}{18}$，∴sin2α=-$\frac{17}{18}$，
∵$α∈（\frac{π}{2}，π）$，∴cos2α=-$\sqrt{1-si{n}^{2}2α}$=-$\frac{\sqrt{35}}{18}$．
故選：A．

點評 本題考查三角函數(shù)的余弦值的求法，考查二倍角公式、正弦函數(shù)兩角差公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．