Question

18．已知圓C過點(diǎn)M（0，-2）和點(diǎn)N（3，1），且圓心C在直線x+2y+1=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）過點(diǎn)（6，3）作圓C的切線，求切線方程；
（3）設(shè)直線l：y=x+m，且直線l被圓C所截得的弦為AB，滿足$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓心C（a，b），由兩點(diǎn)間距離公式及圓心在直線上，列出方程組，求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓半徑，由此能求出圓C的方程．
（2）當(dāng)切線的斜率k存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)（6，3）的切線方程為kx-y-6k+3=0，則圓心C（3，-2）到切線的距離d=$\frac{|3k+2-6k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，求出k，從而求出切線方程；當(dāng)切線斜率k不存在時(shí)，切線方程為x=6，成立．由此能求出切線方程．
（3）由題意得OA⊥OB，設(shè)直線m與圓C的兩交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂=-y₁y₂，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{（x-3）^{2}+（y+2）^{2}=9}\end{array}\right.$，得2x²+（2m-2）x+m²+4m+4=0，由此利用韋達(dá)定理能求出直線l的方程．

解答 解：（1）∵圓C過點(diǎn)M（0，-2）和點(diǎn)N（3，1），且圓心C在直線x+2y+1=0上，
設(shè)圓心C（a，b），
則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（a-0）^{2}+（b+2）^{2}}=\sqrt{（a-3）^{2}+（b-1）^{2}}}\\{a+2b+1=0}\end{array}\right.$，
解得a=3，b=-2．
∴r=$\sqrt{（3-0）^{2}+（-2+2）^{2}}$=3，
∴圓C的方程為（x-3）²+（y+2）²=9．
（2）當(dāng)切線的斜率k存在時(shí)，
設(shè)過點(diǎn)（6，3）的切線方程為y-3=k（x-6），即kx-y-6k+3=0，
則圓心C（3，-2）到切線的距離d=$\frac{|3k+2-6k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，
解得k=$\frac{8}{15}$，切線方程為y-3=$\frac{8}{15}$（x-6），即8x-15y-3=0．
當(dāng)切線斜率k不存在時(shí)，切線方程為x=6，成立．
綜上，切線方程為8x-15y-3=0和x=6．
（3）∵直線l：y=x+m，且直線l被圓C所截得的弦為AB，滿足$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
∴OA⊥OB，
設(shè)直線m與圓C的兩交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵OA⊥OB，∴x₁x₂=-y₁y₂
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{（x-3）^{2}+（y+2）^{2}=9}\end{array}\right.$，得2x²+（2m-2）x+m²+4m+4=0，
則x₁+x₂=1-m，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}+4m+4}{2}$，
y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=${x}_{1}{x}_{2}+m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$，
∵x₁x₂=-y₁y₂，
∴$2{x}_{1}{x}_{2}+m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$=0，
∴m²+4m+4+m-m²+m²=0，
整理，得m²+5m+4=0，
解得m=-1或m=-4，
∴直線l的方程為y=x-1或y=x-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的求法，考查圓的切線方程、直線方程的求法，考查圓、直線方程、切線方程、兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．