Question

1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos²B+$\frac{1}{2}$sin2B=1，若|$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AB}$|=3，則$\frac{16b}{ac}$的最小值為$\frac{16（2-\sqrt{2}）}{3}$．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2B+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$=1，從而$B=\frac{π}{4}$，由 $|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}|=3$，兩邊平方，利用余弦定理得b=3，由此能求出$\frac{16b}{ac}$的最小值．

解答 解：∵在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos²B+$\frac{1}{2}$sin2B=1，
∴$\frac{1+cos2B}{2}$+$\frac{sin2B}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2B+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$=1，
∵0＜B＜π，∴$B=\frac{π}{4}$，
∵$|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}|=3$，∴兩邊平方得a²+c²-2accosB=9=b²，∴b=3，
∵$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-9}}{2ac}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴ac≤$\frac{9}{2-\sqrt{2}}$，
∴$\frac{16b}{ac}$≥$\frac{16（2-\sqrt{2}）}{3}$．
∴$\frac{16b}{ac}$的最小值為$\frac{16（2-\sqrt{2}）}{3}$．
故答案為：$\frac{16（2-\sqrt{2}）}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查代數(shù)式的最小值的求法，考查二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．