A. | 5 | B. | 3+$\sqrt{5}$ | C. | 9 | D. | 14 |
分析 設(shè)Q(x0,y0),則$\frac{{x}_{0}^{2}}{9}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{5}$=1,可得:${k}_{{A}_{2}Q}$•${k}_{{A}_{1}Q}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$.設(shè)直線OS,OT的方程分別為:y=k1x,y=k2x,則${k}_{{A}_{2}Q}$=k1,${k}_{{A}_{1}Q}$=k2.可得k1k2.直線方程與橢圓方程分別聯(lián)立可得${x}_{S}^{2}$,${y}_{S}^{2}$;${x}_{T}^{2}$,${y}_{T}^{2}$.即可得出:|OS|2+|OT|2.
解答 解:設(shè)Q(x0,y0),則$\frac{{x}_{0}^{2}}{9}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{5}$=1,∴${y}_{0}^{2}$=$\frac{5}{9}(9-{x}_{0}^{2})$.
設(shè)直線OS,OT的方程分別為:y=k1x,y=k2x,
則${k}_{{A}_{2}Q}$=k1,${k}_{{A}_{1}Q}$=k2.
∵${k}_{{A}_{2}Q}$•${k}_{{A}_{1}Q}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$$•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-9}$=-$\frac{5}{9}$.
∴k1k2=-$\frac{5}{9}$.
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$,解得${x}_{S}^{2}$=$\frac{45}{5+9{k}_{1}^{2}}$,${y}_{S}^{2}$=$\frac{45{k}_{1}^{2}}{5+9{k}_{1}^{2}}$.
同理可得:${x}_{T}^{2}$=$\frac{45}{5+9{k}_{2}^{2}}$,${y}_{T}^{2}$=$\frac{45{k}_{2}^{2}}{5+9{k}_{2}^{2}}$.
∴|OS|2+|OT|2=${x}_{S}^{2}$+${y}_{S}^{2}$+${x}_{T}^{2}$+${y}_{T}^{2}$=$\frac{45}{5+9{k}_{1}^{2}}$+$\frac{45{k}_{1}^{2}}{5+9{k}_{1}^{2}}$+$\frac{45}{5+9{k}_{2}^{2}}$+$\frac{45{k}_{2}^{2}}{5+9{k}_{2}^{2}}$
=$\frac{45(1+{k}_{1}^{2})}{5+9{k}_{1}^{2}}$+$\frac{45(1+\frac{25}{81{k}_{1}^{2}})}{5+9×\frac{25}{81{k}_{1}^{2}}}$=$\frac{70+126{k}_{1}^{2}}{5+9{k}_{1}^{2}}$=14.
故選:D.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、平行四邊形的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | a<c<b | B. | c<a<b | C. | c<b<a | D. | b<a<c |
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A. | $\frac{20}{3}$ | B. | $\frac{19}{3}$ | C. | 6 | D. | $\frac{17}{3}$ |
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A. | $\frac{1}{8}$ | B. | $\frac{3}{4}$ | C. | $-\frac{1}{8}$ | D. | $-\frac{3}{4}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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A. | 6 | B. | 3 | C. | $\frac{8}{3}$ | D. | $\frac{4}{3}$ |
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A. | 20 | B. | 16 | C. | 10 | D. | 5 |
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