Question

3．如圖，A₁，A₂為橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，S，Q，T為橢圓上不同于A₁，A₂的三點(diǎn)，直線QA₁，QA₂，OS，OT圍成一個(gè)平行四邊形OPQR，則|OS|²+|OT|²=（　�。�

• A． 5
• B． 3+$\sqrt{5}$
• C． 9
• D． 14

Answer 1

分析 設(shè)Q（x₀，y₀），則$\frac{{x}_{0}^{2}}{9}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{5}$=1，可得：${k}_{{A}_{2}Q}$•${k}_{{A}_{1}Q}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．設(shè)直線OS，OT的方程分別為：y=k₁x，y=k₂x，則${k}_{{A}_{2}Q}$=k₁，${k}_{{A}_{1}Q}$=k₂．可得k₁k₂．直線方程與橢圓方程分別聯(lián)立可得${x}_{S}^{2}$，${y}_{S}^{2}$；${x}_{T}^{2}$，${y}_{T}^{2}$．即可得出：|OS|²+|OT|²．

解答 解：設(shè)Q（x₀，y₀），則$\frac{{x}_{0}^{2}}{9}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{5}$=1，∴${y}_{0}^{2}$=$\frac{5}{9}（9-{x}_{0}^{2}）$．
設(shè)直線OS，OT的方程分別為：y=k₁x，y=k₂x，
則${k}_{{A}_{2}Q}$=k₁，${k}_{{A}_{1}Q}$=k₂．
∵${k}_{{A}_{2}Q}$•${k}_{{A}_{1}Q}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$$•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-9}$=-$\frac{5}{9}$．
∴k₁k₂=-$\frac{5}{9}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，解得${x}_{S}^{2}$=$\frac{45}{5+9{k}_{1}^{2}}$，${y}_{S}^{2}$=$\frac{45{k}_{1}^{2}}{5+9{k}_{1}^{2}}$．
同理可得：${x}_{T}^{2}$=$\frac{45}{5+9{k}_{2}^{2}}$，${y}_{T}^{2}$=$\frac{45{k}_{2}^{2}}{5+9{k}_{2}^{2}}$．
∴|OS|²+|OT|²=${x}_{S}^{2}$+${y}_{S}^{2}$+${x}_{T}^{2}$+${y}_{T}^{2}$=$\frac{45}{5+9{k}_{1}^{2}}$+$\frac{45{k}_{1}^{2}}{5+9{k}_{1}^{2}}$+$\frac{45}{5+9{k}_{2}^{2}}$+$\frac{45{k}_{2}^{2}}{5+9{k}_{2}^{2}}$
=$\frac{45（1+{k}_{1}^{2}）}{5+9{k}_{1}^{2}}$+$\frac{45（1+\frac{25}{81{k}_{1}^{2}}）}{5+9×\frac{25}{81{k}_{1}^{2}}}$=$\frac{70+126{k}_{1}^{2}}{5+9{k}_{1}^{2}}$=14．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、平行四邊形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．