Question

14．數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=3，\frac{1}{{{a_n}+1}}-\frac{1}{a_n}=5（{n∈{N_+}}）$，則a_n=$\frac{3}{15n-14}$．

Answer 1

分析 由題意可知數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$為首項，以5為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項公式即可求得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{5n-14}{3}$，即可求得a_n．

解答 解：由$\frac{1}{{a}_{n}+1}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=5，$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$為首項，以5為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$+5（n-1）=$\frac{5n-14}{3}$，
∴a_n=$\frac{3}{5n-14}$，
數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=$\frac{3}{5n-14}$，
故答案為：$\frac{3}{15n-14}$．

點評 本題考查等差數(shù)列通項公式的求法，考查等差數(shù)列的定義，考查轉化思想，屬于中檔題．