Question

6．如圖，在三棱錐P-ABC中，∠ACB=90°，CB=4，AB=12，D為
AB中點，M為PB中點，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．
（1）求證：DM∥平面PAC；
（2）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（3）求三棱錐M-BCD的體積．

Answer 1

分析 （1）利用中位線定理可得DM∥PA，故DM∥面PAC；
（2）證明AP⊥平面PBC得PA⊥BC，結合BC⊥AC得出BC⊥平面PAC，故平面PAC⊥平面ABC；
（3）利用勾股定理計算PC，DM，代入棱錐的體積公式計算．

解答 證明：（1）∵D為AB中點，M為PB中點，
∴DM∥AP，
又∵DM?面APC，AP?面APC，
∴DM∥面PAC．
（2）∵△PDB是正三角形，M為PB中點，
∴DM⊥PB，又∵DM∥AP，
∴PA⊥PB，又∵PA⊥PC，PB∩PC=P，
∴PA⊥面PBC，∵BC?面PBC，
∴PA⊥BC，又BC⊥AC，AC∩PA=A，
∴BC⊥面PAC，
又∵BC?面ABC，
∴面PAC⊥面ABC．
解：（3）∵AB=12，D為AB中點，∴BD=6，
又∵△PDB為正三角形，∴DM=3$\sqrt{3}$，
又∵BC=4，PB=6，∴PC=$\sqrt{P{B}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$•4•2$\sqrt{5}$=4$\sqrt{5}$，
∴S_△BCM=$\frac{1}{2}$S_△PBC=2$\sqrt{5}$，
∵AP⊥平面PBC，DM∥PA，
∴DM⊥平面PBC，
∴V_M-BCD=V_D-BCM=$\frac{1}{3}$•2$\sqrt{5}$•3$\sqrt{3}$=2$\sqrt{15}$．

點評 本題考查了線面平行，線面和面面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．