Question

12．設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+3≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=kx+y的最大值為9，則實(shí)數(shù)k的值為-5或2．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合以及分類(lèi)討論的思想進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=kx+y得y=-kx+z，
則直線(xiàn)截距最大時(shí)，z最大，
∵目標(biāo)函數(shù)z=kx+y的最大值為9，
∴y+kx=9，即y=-kx+9，
則目標(biāo)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（0，9），
當(dāng)k=0時(shí)，y=z，此時(shí)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線(xiàn)的截距最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x-y+3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=5}\end{array}\right.$，即A（2，5），
此時(shí)最大值z(mì)=5不滿(mǎn)足條件．
當(dāng)k＞0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的斜率為-k＜0，
平移直線(xiàn)y=-kx+z，則直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，5）時(shí)，截距最大，
此時(shí)z=9=2k+5，得2k=4，k=2，
當(dāng)k＜0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的斜率為-k＞0，
平移直線(xiàn)y=-kx+z，則直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，截距最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+3=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即C（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）
此時(shí)z=9=-$\frac{3}{2}$k+$\frac{3}{2}$，得-3k=15，得k=-5，滿(mǎn)足條件．
綜上k=-5或k=2，
故答案為：-5或2

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．注意本題要對(duì)k進(jìn)行分類(lèi)討論．