Question

20．若函數(shù)y=f（x）在實(shí)數(shù)集R上的圖象是連續(xù)不斷的，且對任意實(shí)數(shù)x存在常數(shù)t使得f（x+t）=tf（x）恒成立，則稱y=f（x）是一個“關(guān)于t的函數(shù)”，現(xiàn)有下列“關(guān)于t函數(shù)”的結(jié)論：
①常數(shù)函數(shù)是“關(guān)于t函數(shù)”；
②正比例函數(shù)必是一個“關(guān)于t函數(shù)”；
③“關(guān)于2函數(shù)”至少有一個零點(diǎn)；
④f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{x}$是一個“關(guān)于t函數(shù)”．
其中正確結(jié)論的序號是①④．

Answer 1

分析 根據(jù)抽象函數(shù)的定義結(jié)合“關(guān)于t函數(shù)”的定義和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：①對任一常數(shù)函數(shù)f（x）=a，存在t=1，有f（1+x）=f（x）=a，
即1•f（x）=a，所以有f（1+x）=1•f（x），
∴常數(shù)函數(shù)是“關(guān)于t函數(shù)”，故①正確，
②正比例函數(shù)必是一個“關(guān)于t函數(shù)”，設(shè)f（x）=kx（k≠0），存在t使得f（t+x）=tf（x），
即存在t使得k（x+t）=tkx，也就是t=1且kt=0，此方程無解，故②不正確；
③“關(guān)于2函數(shù)”為f（2+x）=2•f（x），
當(dāng)函數(shù)f（x）不恒為0時，有$\frac{f（2+x）}{f（x）}$=2＞0，
故f（x+2）與f（x）同號．
∴y=f（x）圖象與x軸無交點(diǎn)，即無零點(diǎn)．故③錯誤，
④對于f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x設(shè)存在t使得f（t+x）=tf（x），
即存在t使得（$\frac{1}{2}$）^t+x=t（$\frac{1}{2}$）^x，也就是存在t使得（$\frac{1}{2}$）^t（$\frac{1}{2}$）^x=t（$\frac{1}{2}$）^x，
也就是存在t使得（$\frac{1}{2}$）^t=t，此方程有解，故④正確．
故正確是①④，
故答案為①④．

點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．