Question

16．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ²=4$\sqrt{2}$ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）-4．
（Ⅰ）求曲線C₂的直角坐標方程，并指出其表示何種曲線；
（Ⅱ）若曲線C₁與曲線C₂交于A、B兩點，求|AB|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）∵曲線C₂的極坐標方程轉(zhuǎn)化為ρ²=4ρsinθ+4ρcosθ-4，由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，ρcosθ=x，得：（x-2）²+（y-2）²=4，由此得到曲線C₂表示以（2，2）為圓心，以2為半徑的圓．
（Ⅱ）消去參數(shù)得曲線C₁的直角坐標方程為tanα•x-y-tanα+1=0，求出圓心C₂（2，2）到曲線C₁：tanα•x-y-tanα+1=0的距離d，|AB|=2×$\sqrt{{r}^{2}-prvwbuz^{2}}$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C₂的極坐標方程為ρ²=4$\sqrt{2}$ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）-4=4ρsinθ+4ρcosθ-4，
∴由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，ρcosθ=x，
得到曲線C₂的直角坐標方程為：x²+y²=4y+4x-4，
整理，得：（x-2）²+（y-2）²=4，
∴曲線C₂表示以（2，2）為圓心，以2為半徑的圓．
（Ⅱ）∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)得曲線C₁的直角坐標方程為tanα•x-y-tanα+1=0，
當曲線C₁過圓心C₂（2，2）時，tanα=1，α=45°，
此時|AB|取最大值2r=2$\sqrt{2}$．
圓心C₂（2，2）到曲線C₁：tanα•x-y-tanα+1=0的距離為：
d=$\frac{|2tanα-2-tanα+1|}{\sqrt{ta{n}^{2}α+1}}$=$\frac{|tanα-1|}{\sqrt{ta{n}^{2}α+1}}$，
|AB|=2×$\sqrt{{r}^{2}-vtuvolb^{2}}$=2$\sqrt{2-\frac{ta{n}^{2}α+1-2tanα}{ta{n}^{2}α+1}}$=2$\sqrt{1+\frac{2tanα}{ta{n}^{2}α+1}}$，
∴當tanα=0，即α=0時，|AB|取最小值2．

點評 本小題主要考查曲線的直角坐標方程的求法，考查弦長的最值的求法，考查參數(shù)方程、極坐標等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．