【題目】橢圓的右頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，離心率為，已知也是拋物線的焦點(diǎn)， 到準(zhǔn)線的距離為

（1）求橢圓的方程和拋物線的方程；

（2）過原點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，交于另一點(diǎn).

①證明：三點(diǎn)共線

②求面積的最大值.

【答案】（1）；；（2）證明見詳解（3）

【解析】

（1）分析條件可知，，，再結(jié)合橢圓關(guān)系式即可求解，又，也可求解

（2）可采用點(diǎn)差法，設(shè)，，則，設(shè)直線，利用（利用點(diǎn)差法證明）可求，再表示出，只需證明即可

（3）利用，代入已得數(shù)據(jù)，并對換元，利用“對勾”函數(shù)可得最值

（1）由題可知：，，又橢圓有，聯(lián)立求解可得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；

又，故拋物線的方程為：；

（2）

①設(shè)，，則，，，，，，

設(shè)，則，設(shè)直線，

則，，

在橢圓上，，聯(lián)立求解變形可得，

即，則，

，，故三點(diǎn)共線；

②

設(shè)直線的方程為：，

與聯(lián)立消去，

得，

，

，

又

令，則，

利用“對勾”函數(shù)在，的單調(diào)性可知，

時取等號），

（此時，

故面積的最大值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為，．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若的面積是面積的2倍，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，城市空氣質(zhì)量也越來越引起了人民的關(guān)注，如圖是我國某大城市2018年1月至8月份的空氣質(zhì)量檢測結(jié)果，圖中一、二、三、四級是空氣質(zhì)量等級，一級空氣質(zhì)量最好，一級和二級都是空氣質(zhì)量合格，下面說法錯誤的是（ ）

A.6月的空氣質(zhì)量最差

B.8月是空氣質(zhì)量最好的一個月

C.第二季度與第一季度相比，空氣質(zhì)量合格天數(shù)的比重下降了

D.1月至8月空氣質(zhì)量合格天數(shù)超過20天的月份有5個

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形， 平面， ， 是上一點(diǎn)，且.

（1）求證： 平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為方便市民出行，倡導(dǎo)低碳出行.某市公交公司推出利用支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設(shè)置了一段時間的推廣期，在推廣期內(nèi)采用隨機(jī)優(yōu)惠鼓勵市民掃碼支付乘車.該公司某線路公交車隊統(tǒng)計了活動推廣期第一周內(nèi)使用掃碼支付的情況，其中（單位：天）表示活動推出的天次，（單位：十人次）表示當(dāng)天使用掃碼支付的人次，整理后得到如圖所示的統(tǒng)計表1和散點(diǎn)圖.

表1：

x

第1天

第2天

第3天

第4天

第5天

第6天

第7天

y

7

12

20

33

54

90

148

（1）由散點(diǎn)圖分析后，可用作為該線路公交車在活動推廣期使用掃碼支付的人次關(guān)于活動推出天次的回歸方程，根據(jù)表2的數(shù)據(jù)，求此回歸方程，并預(yù)報第8天使用掃碼支付的人次（精確到整數(shù)）.

表2：

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4

52

3.5

140

2069

112

表中，.

（2）推廣期結(jié)束后，該車隊對此期間乘客的支付情況進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如表3.

表3：

支付方式

現(xiàn)金

乘車卡

掃碼

頻率

10%

60%

30%

優(yōu)惠方式

無優(yōu)惠

按7折支付

隨機(jī)優(yōu)惠(見下面統(tǒng)計結(jié)果)

統(tǒng)計結(jié)果顯示，掃碼支付中享受5折支付的頻率為，享受7折支付的頻率為，享受9折支付的頻率為.已知該線路公交車票價為1元，將上述頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，記隨機(jī)變量為在活動期間該線路公交車搭載乘客一次的收入（單位：元），求的分布列和期望.

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為參考數(shù)據(jù)：，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求的值；

（2）求函數(shù)的極值；

（3）當(dāng)時，若直線與曲線沒有公共點(diǎn)，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定點(diǎn)，，直線、相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，記動點(diǎn)的軌跡為曲線。

（1）求曲線的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使得直線與斜率之積為定值，若存在，求出坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐V﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，VO⊥平面ABCD，E是棱VC的中點(diǎn)．

（1）求證：VA∥平面BDE；

（2）求證：平面VAC⊥平面BDE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若在處取到極小值，求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)時， 恒成立，求的取值范圍.

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