Question

5．已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且a₁=2，a_n+1=3S_n-2（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{{{log}_4}{a_n}}}（n∈{N^*}$），求證，b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1＜3（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時通過a_n+1=3S_n-2與a_n=3S_n-1-2作差，進而整理即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知數(shù)列{b_n}的通項公式，利用裂項相消法計算即得結(jié)論．

解答 （1）解：∵a_n+1=3S_n-2，
∴當(dāng)n≥2時，a_n=3S_n-1-2，
兩式相減得：a_n+1-a_n=3a_n，即a_n+1=4a_n（n≥2），
又∵a₁=2，a₂=3S₁-2=4，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{{4}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）證明：由（1）可知b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{\frac{1}{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∵當(dāng)n≥2時，b_nb_n+1=$\frac{1}{n-1}•\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1
=2×1+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=3-$\frac{1}{n}$
＜3．

點評 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查裂項相消法、分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．