Question

12．已知a+b=1，對(duì)?a，b∈（0，+∞）
（1）求$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$≥|2x-1|-|x+1|的最小值為M．
（2））M≥|2x-1|-|x+1|恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a＞0，b＞0 且a+b=1，得$\frac{1}{a}+\frac{4}$=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{4}$）=5+$\frac{a}$+$\frac{4a}$，由此利用基本不等式能求出$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值M．
（2）由M≥|2x-1|-|x+1|恒成立，知|2x-1|-|x+1|≤9，由此利用分類(lèi)討論思想能求出x的取值范圍．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0 且a+b=1，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}$=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{4}$）=5+$\frac{a}$+$\frac{4a}$≥5+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$≥9，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}=\frac{4a}$
故$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值為M=9，
∴M=9．…（5分）
（2）∵M(jìn)≥|2x-1|-|x+1|恒成立，∴|2x-1|-|x+1|≤9，（7分）
當(dāng) x≤-1時(shí)，1-2x+x+1=2-x≤9，整理，得x≥-7，∴-7≤x≤-1；
當(dāng)-1＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，1-2x-x-1=-3x≤9，整理，得x≥-3，∴-1＜x＜$\frac{1}{2}$；
當(dāng) x≥$\frac{1}{2}$時(shí)，2x-1-x-1=x-2≤9，整理，得x≤11，∴$\frac{1}{2}≤x≤11$．
綜上，x的取值范圍為[-7，11]．  …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查含絕對(duì)值不等式的解法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查分類(lèi)與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．