Question

10．已知點A（1，a），圓x²+y²=4．
（1）若過點A的圓的切線只有一條，求a的值及切線方程；
（2）若過點A且在兩坐標軸上截距相等的直線被圓截得的弦長為2$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據直線與圓的位置關系，經過圓上一點作圓的切線有且只有一條，因此點A在圓x²+y²=4上，將點A坐標代入圓的方程，解出a．再由點A的坐標與直線的斜率公式算出切線的斜率，利用直線方程的點斜式列式，化簡即可得到所求切線的方程；
（2）由題意，直線不過原點，設方程為x+y-a=0，利用直線被圓C截得的弦長為2$\sqrt{3}$，可得圓心到直線的距離為1，求出直線的方程，即可求出a的值．

解答 解：（1）由于過點A的圓的切線只有一條，則點A在圓上，故1²+a²=4，∴a=±$\sqrt{3}$．
當a=$\sqrt{3}$時，A（1，$\sqrt{3}$），切線方程為x+$\sqrt{3}$y-4=0；
當a=-$\sqrt{3}$時，A（1，-$\sqrt{3}$），切線方程為x-$\sqrt{3}$y-4=0，
∴a=$\sqrt{3}$時，切線方程為x+$\sqrt{3}$y-4=0，
a=-$\sqrt{3}$時，切線方程為x-$\sqrt{3}$y-4=0．
（2）設直線方程為 x+y=b，
由于直線過點A，∴1+a=b，a=b-1．
又圓心到直線的距離d=$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$，
∴（$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$）²+（$\frac{2\sqrt{3}}{2}$）²=4．
∴b=±$\sqrt{2}$．∴a=±$\sqrt{2}$-1．

點評 本題給出圓的方程與點A的坐標，求經過點A的圓的切線方程．著重考查了圓的方程、直線的基本量與基本形式、點到直線的距離公式和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．