Question

19．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx在區(qū)間（-2，1）內(nèi)x=-1時取極小值，$x=\frac{2}{3}$時取極大值．
（1）求函數(shù)y=f（x）在x=-2處的切線方程；
（2）求函數(shù)y=f（x）在[-2，1]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=-3x²+2ax+b．由題意知-1，$\frac{2}{3}$為方程-3x²+2ax+b=0的兩個根，求出a=-$\frac{1}{2}$，b=2，從而f（x）=-x³-$\frac{1}{2}$x²+2x．由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)y=f（x）在x=-2處的切線方程．
（2）當x變化時，f′（x）及f（x）的變化情況進行列表，由此能求出f（x）在[-2，1]上的最大值，最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx，
∴f′（x）=-3x²+2ax+b．
又x=-1，x=$\frac{2}{3}$分別對應(yīng)函數(shù)取得極小值、極大值，
∴-1，$\frac{2}{3}$為方程-3x²+2ax+b=0的兩個根．
∴$\frac{2}{3}$a=-1+$\frac{2}{3}$，-$\frac{3}$=（-1）×$\frac{2}{3}$．解得a=-$\frac{1}{2}$，b=2，
∴f（x）=-x³-$\frac{1}{2}$x²+2x．
當x=-2時，f（-2）=2，即（-2，2）在曲線上．
又切線斜率為k=f′（-2）=-8，
故所求切線方程為y-2=-8（x+2），即為8x+y+14=0．
（2）當x變化時，f′（x）及f（x）的變化情況如下表：

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，1）	1
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	2	↓	-$\frac{3}{2}$	↑	$\frac{22}{27}$	↓	$\frac{1}{2}$

∴f（x）在[-2，1]上的最大值為2，最小值為-$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的切線方程的求法，考查函數(shù)的最大值、最小值的求法，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論思想，是中檔題．