Question

4．已知函數(shù)f（x）=3^x，f（a+2）=27，函數(shù)g（x）=λ•2^ax-4^x的定義域?yàn)閇0，2]．
（1）求a的值；
（2）若函數(shù)g（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，求λ的取值范圍；
（3）若函數(shù)g（x）的最大值是1，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（a+2）=3^a+2=27，由此能求出a的值．
（2）g（x）=λ•2^x-4^x，由函數(shù)g（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，利用定義法能出λ的取值范圍．
（3）令2^x=t，t∈[1，4]，g（t）=-t²+λt，對(duì)稱軸t=$\frac{λ}{2}$，利用分類討論思想能求出λ的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=3^x，f（a+2）=27，
∴f（a+2）=3^a+2=27，
解得a=1．
（2）由（1）得g（x）=λ•2^x-4^x，
任取0≤x₁＜x₂≤2，
∵函數(shù)g（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，
∴g（x₂）-g（x₁）=$λ•{2}^{{x}_{2}}-{4}^{{x}_{2}}$-（$λ•{2}^{{x}_{1}}-{4}^{{x}_{1}}$）＜0，
∴$λ＜{2}^{{x}_{2}}+{2}^{{x}_{1}}$，
∴λ≤2．即λ的取值范圍是（-∞，2]．
（3）令2^x=t，t∈[1，4]，
g（t）=-t²+λt，對(duì)稱軸t=$\frac{λ}{2}$，
①當(dāng)$\frac{λ}{2}≤1$，即λ≤2時(shí)，g（t）在[1，4]單調(diào)遞減，
y_max=g（1）=-1+λ=1，解得λ=2．
②當(dāng)$\frac{λ}{2}$≥4，即λ≥8時(shí)，g（t）在[1，4]單調(diào)遞增，
y_max=g（4）=-16+4λ=1，解得$λ=\frac{17}{4}$（舍）．
③當(dāng)4＞$\frac{λ}{2}$＞1時(shí)，g（t）在[1，$\frac{λ}{2}$]單調(diào)遞增，在[$\frac{λ}{2}$，4]單調(diào)遞減，
${y}_{max}=g（\frac{λ}{2}）=-（\frac{λ}{2}）^{2}+\frac{{λ}^{2}}{2}+1$，
解得λ=±2（舍）．
綜上，λ的值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值及實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論思想，是中檔題．