Question

10．設(shè)平面上向量$\overrightarrow a=（cosα，sinα）（0≤α＜2π），\overrightarrow b=（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}），\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$不共線，
（1）證明向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$垂直；
（2）當(dāng)兩個向量$\sqrt{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b$的模相等，求角α．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量的坐標(biāo)形式的運算，兩個向量的數(shù)量積公式，求得（$\overrightarrow a+\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）=0，即量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$垂直．
（2）由已知得（$\sqrt{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$）²=（$\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b$）²，
⇒$3{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\sqrt{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=${\overrightarrow{a}}^{2}+3{\overrightarrow}^{2}-2\sqrt{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα=sin（α-\frac{π}{6}）=0$．可求得α

解答 解：（1）證明：∵向量$\overrightarrow a=（cosα，sinα）（0≤α＜2π），\overrightarrow b=（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}），\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$不共線．
∴|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，則得（$\overrightarrow a+\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）=${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}={1}^{2}-{1}^{2}=0$，
∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$垂直．
（2）∵向量$\sqrt{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b$的模相等，
∴（$\sqrt{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$）²=（$\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b$）²，
⇒$3{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\sqrt{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=${\overrightarrow{a}}^{2}+3{\overrightarrow}^{2}-2\sqrt{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，
∵${\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow}^{2}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα=sin（α-\frac{π}{6}）=0$．
∵α∈[0，2π），∴$α=\frac{π}{6}$或$α=\frac{7π}{6}$．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題．