Question

8．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ-8cosθ+4sinθ+$\frac{4}{ρ}$=0，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過點(diǎn)P（5，-2），傾斜角α=$\frac{π}{3}$．
（1）學(xué)出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程；
（2）設(shè)l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ-8cosθ+4sinθ+$\frac{4}{ρ}$=0，即ρ²-8ρcosθ+4ρsinθ+4=0，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．由直線l經(jīng)過點(diǎn)P（5，-2），傾斜角α=$\frac{π}{3}$．可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=5+\frac{1}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（2）直線l的普通方程：y=$\sqrt{3}$x-2-5$\sqrt{3}$．圓C的方程配方為：（x-4）²+（y+2）²=16，可得圓心C（4，-2），半徑r=4．求出圓心C到直線l的距離d，利用弦長公式即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ-8cosθ+4sinθ+$\frac{4}{ρ}$=0，即ρ²-8ρcosθ+4ρsinθ+4=0，
可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²-8x+4y+4=0，
由直線l經(jīng)過點(diǎn)P（5，-2），傾斜角α=$\frac{π}{3}$．可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=5+\frac{1}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（2）直線l的普通方程：y=$\sqrt{3}$x-2-5$\sqrt{3}$．
x²+y²-8x+4y+4=0，配方為：（x-4）²+（y+2）²=16，可得圓心C（4，-2），半徑r=4．
∴圓心C到直線l的距離d=$\frac{|4\sqrt{3}-2+2-5\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴|AB|=2$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{61}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程、勾股定理與弦長公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．