Question

13．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax²-2x（a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）當(dāng)a＜$\frac{e}{2}$-1時(shí)，證明：不等式f（x）＞$\frac{e}{2}$-1在（0，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到x=x₀是h（x）的唯一零點(diǎn)，且在x=x₀處f（x）取最小值f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-x₀（ax₀+2），求出f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$（1-$\frac{{x}_{0}}{2}$）-x₀，構(gòu)造函數(shù)g（t）=e^t（1-$\frac{t}{2}$）-t，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）a=0時(shí)，f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2，
令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ln2，
故f（x）在（0，ln2）遞減，在（ln2，+∞）遞增，
故f（x）_最小值=f（ln2）=2-2ln2；
（2）證明：f′（x）=e^x-2ax-2，
f′（1）=e-2-2a＞e-2-2（$\frac{e}{2}$-1）=0，f′（0）=-1＜0，
故存在x₀∈（0，1）使得f′（x₀）=0，
令h（x）=e^x-2ax-2，則x∈（0，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，
故h（x）在（0，+∞）遞增且h（x₀）=0，
故x=x₀是h（x）的唯一零點(diǎn)，
且在x=x₀處f（x）取最小值f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-x₀（ax₀+2），
又h（x₀）=0，即${e}^{{x}_{0}}$-2ax₀-2=0得ax₀+1=$\frac{{e}^{{x}_{0}}}{2}$，
故f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$（1-$\frac{{x}_{0}}{2}$）-x₀，
構(gòu)造函數(shù)g（t）=e^t（1-$\frac{t}{2}$）-t，
則g′（t）=e^t（$\frac{1}{2}$-$\frac{t}{2}$）-1，g″（t）=e^t（-$\frac{t}{2}$），
故t∈（0，1）時(shí)，g″（t）＜0，g′（t）在（0，1）遞減，
故t∈（0，1）時(shí)，g′（t）＜g′（0）＜0，
故g（t）在（0，1）遞減，
故f（x₀）在（0，1）遞減，
故f（x）_min=f（x₀）＞e¹（1-$\frac{1}{2}$）-1=$\frac{e}{2}$-1，
原結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．