Question

11．（1）已知a＞0，求證：$\sqrt{a+5}-\sqrt{a+3}＞\sqrt{a+6}-\sqrt{a+4}$
（2）證明：若a，b，c均為實數(shù)，且$a={x^2}-2y+\frac{π}{2}$，$b={y^2}-2z+\frac{π}{3}$，$c={z^2}-2x+\frac{π}{6}$，求證：a，b，c中至少有一個大于0．

Answer 1

分析 （1）利用分析法，推出不等式成立的充分條件20＞18即可證明結(jié)果．
（2）利用反證法，推出矛盾結(jié)論即可證明不等式．

解答 （1）證明：要證：$\sqrt{a+5}-\sqrt{a+3}＞\sqrt{a+6}-\sqrt{a+4}$，只需證：$\sqrt{a+5}+\sqrt{a+4}＞\sqrt{a+6}+\sqrt{a+3}$
只需證：${（\sqrt{a+5}+\sqrt{a+4}）^2}＞{（\sqrt{a+6}+\sqrt{a+3}）^2}$
即證：$2a+9+2\sqrt{（a+5）（a+4）}＞2a+9+2\sqrt{（a+6）（a+3）}$，
即證：$\sqrt{（a+5）（a+4）}＞\sqrt{（a+6）（a+3）}$
只需證：（a+5）（a+4）＞（a+6）（a+3），即證：20＞18，∵上式顯然成立，
∴原不等式成立．
（2）設(shè)a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，∴a+b+c≤0
而$a+b+c=（{x^2}-2y+\frac{π}{2}）+（{y^2}-2z+\frac{π}{2}）+（{z^2}-2x+\frac{π}{6}）$
=（x²-2x）+（y²-2y）+（z²-2z）+π=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3
∴a+b+c＞0，這與a+b+c≤0矛盾，故假設(shè)是錯誤的
故a，b，c中至少有一個大于0．

點評 本題考查不等式的證明方法，反證法以及分析法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計算能力．