Question

4．已知函數(shù)f（x）=（x-a）|x|是定義在R上的奇函數(shù)，其中a∈R．
（1）求a的值；
（2）若不等式mx²+3m＜f（x）對(duì)任意x∈[-3，3]成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接由f（-x）+f（x）=0恒成立即可求得a值；
（2）把（1）中求得的a值代入f（x），可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，0≤x≤3}\\{-{x}^{2}，-3≤x＜0}\end{array}\right.$，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，由mx²+3m＜f（x），可得mx²+3m＜x²恒成立，分離參數(shù)m，可得m＜$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+3}$恒成立，求出$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+3}$得范圍可得m的范圍；同理求得x∈[-3，0）時(shí)m的范圍，取交集可得使不等式mx²+3m＜f（x）對(duì)任意x∈[-3，3]成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=（x-a）|x|是定義在R上的奇函數(shù)，
∴有f（-x）+f（x）=0，即（-x-a）|-x|+（x-a）|x|=-2a|x|=0恒成立，得a=0；
（2）由（1）知a=0，∴f（x）=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，0≤x≤3}\\{-{x}^{2}，-3≤x＜0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，由mx²+3m＜f（x），可得mx²+3m＜x²恒成立，
即m＜$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+3}$恒成立，
當(dāng)x=0時(shí)，$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+3}=0$，當(dāng)x∈（0，3]時(shí)，$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+3}=\frac{1}{1+\frac{3}{{x}^{2}}}∈（0，\frac{3}{4}]$，
∴m＜0；
當(dāng)x∈[-3，0）時(shí)，由mx²+3m＜f（x），可得mx²+3m＜-x²恒成立，
即m＜-$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+3}$恒成立，當(dāng)x∈[-3，0）時(shí)，-$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+3}$=-$\frac{1}{1+\frac{3}{{x}^{2}}}∈[-\frac{3}{4}，0）$，
∴m$＜-\frac{3}{4}$．
綜上，若不等式mx²+3m＜f（x）對(duì)任意x∈[-3，3]成立，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-$\frac{3}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，訓(xùn)練了恒成立問題的求解方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．