Question

19．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，坐標原點到直線AB的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中A（0，-b），B（a，0）．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）設F是雙曲線的右焦點，直線l過點F且與雙曲線的右支交于不同的兩點P、Q，|PQ|=10．求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，坐標原點到直線AB的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，建立方程，求出a，b，即可求雙曲線的標準方程；
（2）設直線方程為y=k（x-2），代入雙曲線方程，整理可得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0，利用韋達定理，及弦長公式，建立方程，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）直線AB的方程為bx-ay-ab=0．
∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，坐標原點到直線AB的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$=4，$\frac{ab}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴雙曲線的標準方程是${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設直線方程為y=k（x-2）
代入雙曲線方程，整理可得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則可得x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{3-{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{4{k}^{2}+3}{3-{k}^{2}}$，
∵|PQ|=10，
∴（1+k²）²•[（-$\frac{4{k}^{2}}{3-{k}^{2}}$）²-4（-$\frac{4{k}^{2}+3}{3-{k}^{2}}$）]=100
解得，k=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$（x-2）．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查直線與雙曲線位置關系的運用，考查弦長的計算，屬于中檔題．