Question

12．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E，F(xiàn)分別為A₁B，C₁C的中點．
（1）求證：EF∥平面ABCD；
（2）若四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，且AB=AD=2AA₁，求平面A₁BF與平面ABCD所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）設AB的中點為M，連接EM、MC．推導出四邊形EMCF是平行四邊形，從而EF∥MC，由此能證明EF∥平面ABCD．
（2）根據(jù)四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，建立空間直角坐標系D-xyz，利用向量法能求出平面A₁BF與平面ABCD所成二面角的正弦值．

解答 證明：（1）設AB的中點為M，連接EM、MC．
∵E為A₁B的中點，∴EM∥A₁A，且$EM=\frac{1}{2}{A_1}A$．
又∵F為四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱C₁C的中點，
∴EM∥FC，且EM=FC，
∴四邊形EMCF是平行四邊形．∴EF∥MC．
又∵MC?平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
解：（2）根據(jù)四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，
建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，設AB=2，
由已知得$D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），{A_1}（2，0，1），{C_1}（0，2，1），E（2，1，\frac{1}{2}），F(xiàn)（0，2，\frac{1}{2}）$.$\overrightarrow{{A_1}B}=（0，2，-1），\overrightarrow{BF}=（-2，0，\frac{1}{2}）$，
設平面A₁BF的一個法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
則$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{{A_1}B}，\overrightarrow n⊥\overrightarrow{BF}$．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{2y-z=0}\\{-2x+\frac{z}{2}=0}\end{array}}\right.$，取z=4，解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}}\right.$，
∴$\overrightarrow n=（1，2，4）$是平面A₁BF的一個法向量．
由已知得到$\overrightarrow m=（0，0，1）$是平面ABCD的一個法向量．
設平面A₁BF與平面ABCD所成二面角的大小為θ，
則$|{cosθ}|=\frac{{|{\overrightarrow m•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{4\sqrt{21}}}{21}$．
∵0＜θ＜π，∴$sinθ=\frac{{\sqrt{105}}}{21}$．
∴平面A₁BF與平面ABCD所成二面角的正弦值為$\frac{{\sqrt{105}}}{21}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查轉化化歸思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．