Question

2．已知橢圓C₁的中心為原點O，離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中一個焦點的坐標為（-$\sqrt{2}$，0）
（Ⅰ）求橢圓C₁的標準方程；
（Ⅱ）當點Q（u，v）在橢圓C₁上運動時，設動點P（2v-u，u+v）的運動軌跡為C₂，若點T滿足：$\overrightarrow{OT}$=$\overrightarrow{MN}$+2$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，其中M，N是C₂上的點，直線OM，ON的斜率之積為-$\frac{1}{2}$，試說明：是否存在兩個定點F₁，F(xiàn)₂，使得|TF₁|+|TF₂|為定值？若存在，求F₁，F(xiàn)₂的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中一個焦點的坐標為（-$\sqrt{2}$，0），列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y），T（m，n），推導出m=x₁+2x₂，n=y₁+2y₂，設k_OM，k_ON分別為直線OM，ON的斜率，由已知條件得x₁x₂+2y₁y₂=0，利用點差法能求出存在兩定點F₁，F(xiàn)₂，且為橢圓$\frac{{x}^{2}}{60}+\frac{{y}^{2}}{30}$=1的兩個焦點，使得|TF₁|+|TF₂|為定值，并能求出其坐標．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C₁的中心為原點O，離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中一個焦點的坐標為（-$\sqrt{2}$，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{c=\sqrt{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y），T（m，n），
則$\left\{\begin{array}{l}{x=2v-μ}\\{y=μ+v}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{μ=\frac{1}{3}（2y-x）}\\{v=\frac{1}{3}（x+y）}\end{array}\right.$，
∵點Q（μ，v）在橢圓C₁上運動，
∴$\frac{{μ}^{2}}{4}+\frac{{v}^{2}}{2}$=1，
[$\frac{1}{3}$（2y-x）]²+2[$\frac{1}{3}$（x+y）]²=4，
x²+2y²=12，
∴動點P的軌跡方程為x²+2y²=12，
由$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，得：
（m，n）=（x₂-x₁，y₂-y₁）+2（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（x₁+2x₂，y₁+2y₂），
∴m=x₁+2x₂，n=y₁+2y₂，
設k_OM，k_ON分別為直線OM，ON的斜率，由已知條件得${k}_{OM}•{k}_{ON}=\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
∵點M，N在橢圓C₂上，
∴${{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}$=12，${{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}$=12，
∴m²+2n²=（${{x}_{1}}^{2}+4{{x}_{2}}^{2}+4{x}_{1}{x}_{2}$）+2（${{y}_{1}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}+4{y}_{1}{y}_{2}$）
=（${{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}$）+4（${{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}$）+4（x₁x₂+2y₁y₂）=60，
∴T點是橢圓$\frac{{x}^{2}}{60}+\frac{{y}^{2}}{30}=1$上的點，
∴存在兩定點F₁，F(xiàn)₂，且為橢圓$\frac{{x}^{2}}{60}+\frac{{y}^{2}}{30}$=1的兩個焦點，
使得|TF₁|+|TF₂|為定值，
其坐標分別為（-$\sqrt{30}$，0），（$\sqrt{30}$，0）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉化化歸思想，是中檔題．