Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_n+1-a_n=cos$\frac{nπ}{2}$，則S₂₀₁₇=1009．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出a₁=1，a₂=1，a₃=0，a₄=0，a₅=1，a₆=1，…，從而數(shù)列{a_n}是以4為周期的數(shù)列，由此能求出S₂₀₁₇的值．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_n+1-a_n=cos$\frac{nπ}{2}$，
∴a₂-a₁=$cos\frac{π}{2}$=0，
a₃-a₂=cosπ=-1，
a₄-a₃=$cos\frac{3π}{2}$=0，
a₅-a₄=cos2π=1，
a₆-a₅=$cos\frac{5π}{2}$=cos$\frac{π}{2}$=0，
…
∴a₁=1，a₂=1，a₃=0，a₄=0，a₅=1，a₆=1，…
∴數(shù)列{a_n}是以4為周期的數(shù)列，
S₂₀₁₇=504×（a₁+a₂+a₃+a₄）+a₁=1009．
故答案為：1009．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前2017項(xiàng)和的求法，考查數(shù)列的周期性、余弦函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．