Question

8．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$x，且與橢圓$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}$=1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{10}=1$
• B． $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$
• C． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程可得$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，①求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得c=3，即a²+b²=9，②，解方程可得a，b的值，進(jìn)而得到雙曲線的方程．

解答 解：雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$x，
可得$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，①
橢圓$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}$=1的焦點(diǎn)為（±3，0），
可得c=3，即a²+b²=9，②
由①②可得a=2，b=$\sqrt{5}$，
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程和橢圓的焦點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．