Question

20．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，$AC=BC=\frac{1}{2}A{A_1}=2$，點D是棱AA₁的中點．
（Ⅰ）證明：平面BDC₁⊥平面BDC；
（Ⅱ）求三棱錐C₁-BDC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題設(shè)證明BC⊥平面ACC₁A₁，可得DC₁⊥BC，再由已知可得∠ADC=∠A₁DC₁=45°，得∠CDC₁=90°，即C₁D⊥DC，結(jié)合線面垂直的判定得DC₁⊥平面BDC，從而得到平面BDC₁⊥平面BDC；
（Ⅱ）由等積法可得三棱錐C₁-BDC的體積．

解答 （Ⅰ）證明：由題意知BC⊥CC₁，BC⊥AC，AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
又∵DC₁?平面ACC₁A₁，∴DC₁⊥BC．
∵∠ADC=∠A₁DC₁=45°，
∴∠CDC₁=90°，即C₁D⊥DC．
∵DC∩BC=C，
∴DC₁⊥平面BDC，又∵DC₁?平面BDC₁，
∴平面BDC₁⊥平面BDC．
（Ⅱ）解：由$AC=BC=\frac{1}{2}A{A_1}=2$，得AA₁=4，所以AD=2，
所以$CD=\sqrt{A{C^2}+A{D^2}}=\sqrt{{2^2}+{2^2}}=2\sqrt{2}$．
所以Rt△CDC₁的面積$S=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，
所以${V_{{C_1}-BDC}}={V_{B-CD{C_1}}}=\frac{1}{3}S•BC=\frac{1}{3}×4×2=\frac{8}{3}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．