Question

20．某同學用“五點法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$
Asin（ωx+φ）		3	0

（1）請將上表空格中的數(shù)據(jù)在答卷的相應位置上，并求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若y=f（x）的圖象上所有點向左平移$\frac{π}{6}$個單位后對應的函數(shù)為g（x），求當x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]時，函數(shù)y=g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)y=g（x）的值域．

解答 解：（1）由題意可得，A=3，$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$，ω=2，
再根據(jù)五點法作圖可得2•$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$，求得φ=-$\frac{π}{6}$，∴f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
表格即：

2x-$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{12}$
3sin（2x-$\frac{π}{6}$）	0	3	0	-3	0

（2）把y=f（x）的圖象上所有點向左平移$\frac{π}{6}$個單位后對應的函數(shù)為g（x）=3sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]
=3sin（2x+$\frac{π}{6}$），
當x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴3sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\sqrt{3}$，3]，即函數(shù)y=g（x）的值域為[-$\sqrt{3}$，3]．

點評 本題主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的圖象特征，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值．還考查了y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎題．