Question

15．設(shè)f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+5，若至少存在一個(gè)x₀∈[-1，2]時(shí)，f（x₀）＜m成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＞$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得：m＞f（x）_min，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：至少存在一個(gè)x₀∈[-1，2]時(shí)，f（x₀）＜m成立，∴m＞f（x）_min．

x	$[-1，-\frac{2}{3}）$	$-\frac{2}{3}$	$（-\frac{2}{3}，1）$	1	（1，2]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），x∈[-1，2]，
列表如下：由表格可知：x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，f（1）=1-$\frac{1}{2}$-2+5=$\frac{7}{2}$，又f（-1）=-1-$\frac{1}{2}$+2+5=$\frac{15}{2}$．
∴f（x）_min=$\frac{7}{2}$．
∴$m＞\frac{7}{2}$．
故答案為：$m＞\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了微積分基本定理、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．