Question

2．定義在R上的函數(shù)f（x），f′（x）是其導函數(shù)，且滿足f（x）+f′（x）＞2，f（1）=2+$\frac{4}{e}$，則不等式e^xf（x）＞4+2e^x的解集為（　�。�

• A． （-∞，1）
• B． （1，+∞）
• C． （-∞，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 可構造函數(shù)令g（x）=e^xf（x）-2e^x-4，然后求導，根據(jù)條件即可得出g′（x）＞0，進而得出函數(shù)g（x）在R上單調遞增，并求出g（1）=0，這樣便可求出原不等式的解集．

解答 解：令g（x）=e^xf（x）-2e^x-4，g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-2e^x=e^x[f（x）+f′（x）-2]；
∵f（x）+f′（x）＞2；
∴g′（x）＞0；
∴g（x）在R上單調遞增；
$f（1）=2+\frac{4}{e}$；
∴$g（1）=e（2+\frac{4}{e}）-2e-4=0$；
∴x＞1時，g（x）＞0；
∴原不等式的解集為（1，+∞）．
故選B．

點評 考查導函數(shù)的概念，構造函數(shù)解決問題的方法，積的函數(shù)的求導公式，函數(shù)導數(shù)符號和函數(shù)單調性的關系．