Question

12．已知三棱錐P-ABC的所有頂點都在表面積為16π的球O的球面上，AC為球O的直徑，當三棱錐P-ABC的體積最大時，設(shè)二面角P-AB-C的大小為θ，則sinθ=（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{7}}{3}$

Answer 1

分析 AC為球O的直徑，當三棱錐P-ABC的體積最大時，△ABC為等腰直角三角形，P在面ABC上的射影為圓心O，過圓心O作OD⊥AB于D，連結(jié)PD，則∠PDO為二面角P-AB-C的平面角．

解答 解：如圖所示：由已知得球的半徑為2，
AC為球O的直徑，當三棱錐P-ABC的體積最大時，△ABC為等腰直角三角形，P在面ABC上的射影為圓心O，
過圓心O作OD⊥AB于D，連結(jié)PD，則∠PDO為二面角P-AB-C的平面角，
在△ABC△中，PO=2，OD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$，∴$PD=\sqrt{6}$，sinθ=$\frac{PO}{PD}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選：C

點評 本題考查了與球有關(guān)的組合體，關(guān)鍵是要畫出圖形，找準相應(yīng)的線線、線面位置關(guān)系．屬于難題．