Question

14．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），離心率為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，點(diǎn)O位坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓E的左焦點(diǎn)F作任一條不垂直于坐標(biāo)軸的直線l，交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，記弦PQ的中點(diǎn)為M，過F作PQ的中點(diǎn)為M，過F做PQ的垂線FN交直線OM于點(diǎn)N，證明，點(diǎn)N在一條定直線上．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率求得a²=5b²，將點(diǎn)（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入橢圓方程，即可求得a和b的值，即可橢圓方程；
（2）設(shè)直線方程l，則直線FN：y=-$\frac{1}{k}$（x+2），將直線l代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，根據(jù)直線OM方程，求得直線FN和OM的交點(diǎn)N，即可得證．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
則a²=5b²，
將點(diǎn)（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{5^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，解得：b²=1，a²=5，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：由題意可知：直線l的斜率存在，且不為0，y=k（x+2），直線FN：y=-$\frac{1}{k}$（x+2），
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+5k²）x²+20k²x+20k²-5=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-$\frac{20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，x₁+x₂=$\frac{20{k}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}$，
則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{10{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，y₀=k（x₀+2）=$\frac{2k}{1+5{k}^{2}}$，
則直線OM的斜率為k_OM=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{5k}$，
直線OM：y=-$\frac{1}{5k}$x，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{5k}x}\\{y=-\frac{1}{k}（x+2）}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{2}}\\{y=\frac{1}{2k}}\end{array}\right.$，
即有k取何值，N的橫坐標(biāo)均為-$\frac{5}{2}$，則點(diǎn)N在一條定直線x=-$\frac{5}{2}$上．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查點(diǎn)在定直線上的求法，注意運(yùn)用直線方程求交點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．