Question

2．已知定義域為[-1，0）∪（0，1]的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（0，1]時，f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，則不等式f（x）＜f（-x）+x的解集為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]∪[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 先求出-1≤x＜0時，f（x）=-f（-x）=-$\sqrt{1-{x}^{2}}$，再分類討論，化抽象不等式為具體的不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)-1≤x＜0，則0＜-x≤1，
∵當(dāng)0＜x≤1時，f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，∵f（x）是定義域為[-1，0）∪（0，1]的奇函數(shù)，
∴-1≤x＜0，f（x）=-f（-x）=-$\sqrt{1-{x}^{2}}$．
當(dāng)0＜x≤1時，不等式f（x）＜f（-x）+1可化為$\sqrt{1-{x}^{2}}$＜-$\sqrt{1-{x}^{2}}$+1，即0≤1-x²$＜\frac{1}{4}$，∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜x≤1，
當(dāng)-1≤x＜0時，不等式f（x）＜f（-x）+1可化為0≤1-x²$＜\frac{1}{4}$，∴-1≤x＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
綜上，不等式f（x）＜f（-x）+1的解集為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]∪[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
故答案為：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]∪[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性，考查解不等式，函數(shù)與方程的應(yīng)用，確定-1≤x＜0時，f（x）=-f（-x）的解析式，正確分類討論是關(guān)鍵．