Question

14．從某學校的1600名男生中隨機抽取50名測量身高，被測學生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結果按如下方式分成八組：第一組[155，160），第二組[160，165），…，第八組[190，195]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，第六組的人數為4人．
（1）求第七組的頻率；
（2）估計該校1600名男生中身高在180cm以上（含180cm）的人數；
（3）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，設他們的身高分別為x，y，記事件E={（x，y）||x-y|≤5}，求事件E的概率．

Answer 1

分析 （1）先求出第六組的頻率，由此利用頻率分布直方圖能求出第七組的頻率．
（2）由頻率分布直方圖求出后三組頻率，由此能估計該校1600名男生中身高在180 cm以上（含180 cm）的人數．
（3）第六組[180，185）的人數為4人，設為a，b，c，d，第八組[190，195]的人數為2人，設為A，B，由此利用列舉法能求出事件E的概率．

解答 解：（1）第六組的頻率為$\frac{4}{50}$=0.08．
所以第七組的頻率為：
1-0.08-5×（0.008×2+0.016+0.04×2+0.06）=0.06．
（2）由直方圖得后三組頻率為0.06+0.08+0.008×5=0.18，
所以估計該校1600名男生中身高在180 cm以上（含180 cm）的人數為0.18×1600=288人．
（3）第六組[180，185）的人數為4人，設為a，b，c，d，
第八組[190，195]的人數為2人，設為A，B，
則有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB，共15種情況．
因為事件E={（x，y）||x-y|≤5}發(fā)生當且僅當隨機抽取的兩名男生在同一組，
所以事件E包含的基本事件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況，
故P（E）=$\frac{7}{15}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，考查數據處理能力、運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想、集合思想，是基礎題．