Question

2．已知a＞0，函數(shù)f（x）=lnx-ax²．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)$a=\frac{1}{8}$時(shí)，證明：存在x₀∈（2，+∞），使$f（{x_0}）=f（{\frac{3}{2}}）$；
（3）若存在屬于區(qū)間[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f（α）=f（β），證明：$\frac{ln3-ln2}{5}≤a≤\frac{ln2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到$f（{\frac{3}{2}}）＜f（2）$，從而證明結(jié)論；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到1≤α≤2≤β≤3，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）由題意得函數(shù)f（x）=lnx-ax²的定義域?yàn)?（{0，+∞}），f'（x）=\frac{1}{x}-2ax=\frac{{1-2a{x^2}}}{x}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，則函數(shù)f（x）=lnx-ax²在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，x＞0，由f'（x）＞0得$0＜x＜\frac{{\sqrt{2a}}}{2a}$，由f'（x）＜0得$x＞\frac{{\sqrt{2a}}}{2a}$，
∴f（x）在$（{0，\frac{{\sqrt{2a}}}{2a}}）$上單調(diào)遞增；在$（{\frac{{\sqrt{2a}}}{2a}，+∞}）$上單調(diào)遞減，
綜上所述，結(jié)論是a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）=lnx-ax²的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=lnx-ax²的單調(diào)增區(qū)間為$（{0，\frac{{\sqrt{2a}}}{2a}}）$，單調(diào)減區(qū)間為$（{\frac{{\sqrt{2a}}}{2a}，+∞}）$．
（2）證明：當(dāng)$a=\frac{1}{8}$時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減，
則$f（{\frac{3}{2}}）＜f（2）$，又f（x）在（2，+∞）上的值域?yàn)椋?∞，f（2）），
∴存在x₀∈（2，+∞），使$f（{x_0}）=f（{\frac{3}{2}}）$，綜上所述，結(jié)論證明成立．
（3）證明：f（α）=f（β），由（1）知$α＜\frac{{\sqrt{2a}}}{2a}＜β$，
又β-α≥1，α，β∈[1，3]，所以1≤α≤2≤β≤3，
所以$\left\{\begin{array}{l}f（2）≥f（α）≥f（1）\\ f（2）≥f（β）≥f（3）\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}ln2-4a≥-a\\ ln2-4a≥ln3-9a\end{array}\right.$，
所以$\frac{ln3-ln2}{5}≤a≤\frac{ln2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．