Question

12．如圖，圓柱有一個高6$\sqrt{2}$cm，體積為54$\sqrt{6}$cm³的內接正三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
求：（1）圓柱的體積；
（2）AC₁與正三棱柱的側面ABB₁A₁所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）設出正三棱柱的底面邊長，由體積求出底面邊長，利用正弦定理求得圓柱的底面半徑，則圓柱體積可求；
（2）取A₁B₁ 中點O，連接AO，C₁O，則∠AOC₁為直線AC₁與平面ABB₁A₁所成角．然后求解直角三角形得答案．

解答 解：（1）設正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為a，則底面積為S=$\frac{1}{2}a×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，
∴$V=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×6\sqrt{2}=54\sqrt{6}$，解得：a=6．
設圓柱的底面半徑為r，則$\frac{a}{sin60°}=2r$，即$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2r$，得r=2$\sqrt{3}$．
∴圓柱的底面積為$π•（2\sqrt{3}）^{2}=12π$，
則圓柱的體積為V=12$π×6\sqrt{2}=72\sqrt{2}π$；
（2）由（1）知，正三棱柱底面邊長為6，側棱長為$6\sqrt{2}$，
取A₁B₁ 中點O，連接AO，C₁O，則∠AOC₁為直線AC₁與平面ABB₁A₁所成角．
在Rt△OAC₁中，AO=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}}=9$，$O{C}_{1}=\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}=3\sqrt{3}$，
∴tan∠OAC₁=$\frac{3\sqrt{3}}{9}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴AC₁與正三棱柱的側面ABB₁A₁所成角的大小為30°．

點評 本題考查線面角及多面體體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．