Question

12．在直角坐標系中，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數），直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數），以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點P的極坐標為（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$）．
（1）求點P的直角坐標，并求曲線C的普通方程；
（2）設直線l與曲線C的兩個交點為A，B，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）點P的極坐標為（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），利用互化公式可得直角坐標P．曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數），利用平方關系可得普通方程．
（2）直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數），代入橢圓方程可得：7t²+12t-4=0．利用根與系數的關系可得|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$．

解答 解：（1）點P的極坐標為（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），可得直角坐標P$（0，\sqrt{3}）$．
曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數），
利用平方關系可得：$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}$=1．
（2）直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數），代入橢圓方程可得：7t²+12t-4=0．
∴t₁+t₂=-$\frac{12}{7}$，t₁•t₂=-$\frac{4}{7}$，
∴|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{12}{7}）^{2}-4×（-\frac{4}{7}）}$=$\frac{16}{7}$．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標、直線參數方程的應用、一元二次方程的根與系數的關系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．