分析 (Ⅰ)根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)f(x)的解析式即可;
(Ⅱ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出f(x)的最大值,得到關(guān)于a的方程,求出a的值并判斷即可.
解答 解:(Ⅰ)設(shè)x∈(0,e],則-x∈[-e,0),∴f(-x)=-ax-lnx,
又f(x)為奇函數(shù),f(x)=-f(-x)=ax+lnx.
∴函數(shù)f(x)的解析式為$f(x)=\left\{{\begin{array}{l}{ax-ln(-x),x∈[-e,0)}\\{ax+lnx,x∈(0,e]}\end{array}}\right.$…(4分)
(Ⅱ)假設(shè)存在實數(shù)a符合題意,則當(dāng)x∈(0,e]時,f(x)的最大值是-3,
當(dāng)x∈(0,e]時,${f^/}(x)=a+\frac{1}{x}=\frac{ax+1}{x}$,
①當(dāng)a=0時,${f^/}(x)=a+\frac{1}{x}=\frac{ax+1}{x}>0$,
∴函數(shù)f(x)=ax+lnx是(0,e]上的增函數(shù),
∴f(x)max=f(e)=ae+1=1,不合題意,舍去.
②當(dāng)$-\frac{1}{a}<0⇒a>0$時,由于x∈(0,e].則${f^/}(x)=a+\frac{1}{x}>0$.
∴函數(shù)f(x)=ax+lnx是(0,e]上的增函數(shù),
∴f(x)max=f(e)=ae+1=-3,則$a=-\frac{4}{e}$(舍去).
③當(dāng)$0<-\frac{1}{a}<e⇒a<-\frac{1}{e}$時,
在$(0,-\frac{1}{a})$上f′(x)>0,在$(-\frac{1}{a},e]$上f′(x)<0.
則f(x)=ax+lnx在$(0,-\frac{1}{a})$上遞增,$(-\frac{1}{a},e]$上遞減,
∴$f{(x)_{max}}=f(-\frac{1}{a})=-1+ln(-\frac{1}{a})=-3$,解得a=-e2,
④當(dāng)$e≤-\frac{1}{a}⇒-\frac{1}{e}≤a<0$時,由于x∈(0,e].則${f^/}(x)=a+\frac{1}{x}≥0$
∴函數(shù)f(x)=ax+lnx是(0,e]上的增函數(shù),
∴f(x)max=f(e)=ae+1=-3,則$a=-\frac{4}{e}<-\frac{1}{e}$(舍去).
綜上可知存在實數(shù)a=-e2,使得當(dāng)x∈(0,e]時,f(x)的最大值是-3.…(12分)
點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 3 | B. | 2 | C. | 1 | D. | 0 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | {x|x<3} | B. | {x|x≥5} | C. | {x|3≤x≤5} | D. | {x|3<x≤5} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 銳角三角形 | B. | 鈍角三角形 | C. | 直角三角形 | D. | 等腰三角形 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | 1 | D. | $\frac{1}{2}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$ | B. | $\frac{9}{8}$ | C. | $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$ | D. | $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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