分析 (Ⅰ)根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)f(x)的解析式即可;
(Ⅱ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出f(x)的最大值,得到關(guān)于a的方程,求出a的值并判斷即可.
解答 解:(Ⅰ)設(shè)x∈(0,e],則-x∈[-e,0),∴f(-x)=-ax-lnx,
又f(x)為奇函數(shù),f(x)=-f(-x)=ax+lnx.
∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)={ax−ln(−x),x∈[−e,0)ax+lnx,x∈(0,e]…(4分)
(Ⅱ)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a符合題意,則當(dāng)x∈(0,e]時(shí),f(x)的最大值是-3,
當(dāng)x∈(0,e]時(shí),f/(x)=a+1x=ax+1x,
①當(dāng)a=0時(shí),f/(x)=a+1x=ax+1x>0,
∴函數(shù)f(x)=ax+lnx是(0,e]上的增函數(shù),
∴f(x)max=f(e)=ae+1=1,不合題意,舍去.
②當(dāng)−1a<0⇒a>0時(shí),由于x∈(0,e].則f/(x)=a+1x>0.
∴函數(shù)f(x)=ax+lnx是(0,e]上的增函數(shù),
∴f(x)max=f(e)=ae+1=-3,則a=−4e(舍去).
③當(dāng)0<−1a<e⇒a<−1e時(shí),
在(0,−1a)上f′(x)>0,在(−1a,e]上f′(x)<0.
則f(x)=ax+lnx在(0,−1a)上遞增,(−1a,e]上遞減,
∴f(x)max=f(−1a)=−1+ln(−1a)=−3,解得a=-e2,
④當(dāng)e≤−1a⇒−1e≤a<0時(shí),由于x∈(0,e].則f/(x)=a+1x≥0
∴函數(shù)f(x)=ax+lnx是(0,e]上的增函數(shù),
∴f(x)max=f(e)=ae+1=-3,則a=−4e<−1e(舍去).
綜上可知存在實(shí)數(shù)a=-e2,使得當(dāng)x∈(0,e]時(shí),f(x)的最大值是-3.…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 3 | B. | 2 | C. | 1 | D. | 0 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | {x|x<3} | B. | {x|x≥5} | C. | {x|3≤x≤5} | D. | {x|3<x≤5} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 銳角三角形 | B. | 鈍角三角形 | C. | 直角三角形 | D. | 等腰三角形 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 3√24 | B. | 98 | C. | 3√55 | D. | 3√22 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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