分析 (1)由題意可得AC⊥BD,又EC⊥BD,結(jié)合線面垂直的判定可得平面BED⊥平面AEC;
(2)由(1)知AC⊥BD,證得△COE∽△CEA,可得CE2+AE2=AC2=4,即∠CEA=90°,得EO⊥AC,又BD⊥OE,建立空間直角坐標(biāo)系,求出所用點(diǎn)的坐標(biāo),得到平面DBM與平面CBM的一法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得二面角D-BM-C的平面角的余弦值.
解答 證明:(1)由于△ABD為正三角形,∠BCD=120°,CB=CD=CE=1,
故連接AC交BD于O點(diǎn),則△ABC≌△ADC,
∴∠BAC=∠DAC,則AC⊥BD,
又∵EC⊥BD,EC∩AC=C,
故BD⊥面ACE,
∴平面BED⊥平面AEC;
解:(2)由(1)知AC⊥BD,且CO=12,AO=32,連接EO,則COCE=CEAC=12,
∴△COE∽△CEA,
又CE2+AE2=AC2=4,可得∠CEA=90°.
∴∠COE=∠CEA=90°,
故EO⊥AC,又BD⊥OE,
故如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
則B(0,√32,0),D(0,−√32,0),C(−12,0,0),M(34,0,34),
→DM=(34,√32,√34),→DB=(0,√3,0),
設(shè)平面DBM的法向量→m=(x1,y1,z1),
則由{→m•→DB=0→m•→DM=0,得{√3y1=034x1+√32y1+√34z1=0,取z1=1,得→m=(−√33,0,1);
→CB=(12,√32,0),→CM=(54,0,√34),
設(shè)平面CBM的法向量→n=(x2,y2,z2),
則由{→n•→CB=0→n•→CM=0,得{12x2+√32y2=054x2+√34z2=0,取z2=1,得→n=(−√35,15,1).
∴cos<→m,→n>=→m•→n|→m||→n|=3√8729.
故二面角D-BM-C的平面角的余弦值為3√8729.
點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定,考查了空間想象能力和思維能力,訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的平面角,是中檔題.
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A. | {x|13<x<12} | B. | {x|x>12} | C. | {x|x<13} | D. | {x|x<13或x>12} |
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