Question

15．四棱錐E-ABCD中，△ABD為正三角形，∠BCD=120°，CB=CD-CE=1，AB=AD=AE=$\sqrt{3}$，且EC⊥BD
（1）求證：平面BED⊥平面AEC；
（2）求二面角D--BM-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得AC⊥BD，又EC⊥BD，結(jié)合線面垂直的判定可得平面BED⊥平面AEC；
（2）由（1）知AC⊥BD，證得△COE∽△CEA，可得CE²+AE²=AC²=4，即∠CEA=90°，得EO⊥AC，又BD⊥OE，建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，得到平面DBM與平面CBM的一法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角D-BM-C的平面角的余弦值．

解答 證明：（1）由于△ABD為正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，
故連接AC交BD于O點(diǎn)，則△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，則AC⊥BD，
又∵EC⊥BD，EC∩AC=C，
故BD⊥面ACE，
∴平面BED⊥平面AEC；
解：（2）由（1）知AC⊥BD，且CO=$\frac{1}{2}$，AO=$\frac{3}{2}$，連接EO，則$\frac{CO}{CE}=\frac{CE}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴△COE∽△CEA，
又CE²+AE²=AC²=4，可得∠CEA=90°．
∴∠COE=∠CEA=90°，
故EO⊥AC，又BD⊥OE，
故如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），D（0，$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，0），C（$-\frac{1}{2}$，0，0），M（$\frac{3}{4}$，0，$\frac{3}{4}$），
$\overrightarrow{DM}=（\frac{3}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{4}）$，$\overrightarrow{DB}=（0，\sqrt{3}，0）$，
設(shè)平面DBM的法向量$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，
則由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{DM}=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{y}_{1}=0}\\{\frac{3}{4}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{4}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取z₁=1，得$\overrightarrow m=（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0，1）$；
$\overrightarrow{CB}=（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0），\overrightarrow{CM}=（\frac{5}{4}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{4}）$，
設(shè)平面CBM的法向量$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}_{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{2}=0}\\{\frac{5}{4}{x}_{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取z₂=1，得$\overrightarrow n=（-\frac{{\sqrt{3}}}{5}，\frac{1}{5}，1）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{3\sqrt{87}}{29}$．
故二面角D-BM-C的平面角的余弦值為$\frac{3\sqrt{87}}{29}$．

點(diǎn)評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題．