Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²-2x+mlnx（m∈R），$g（x）=（x-\frac{3}{4}）{e^x}$．
（Ⅰ）若m=1，求y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），求g（x₁-x₂）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出k的值，求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅲ）求出${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-2m}}}{2}，{x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-2m}}}{2}$，${x_1}-{x_2}=-\sqrt{1-2m}$，令$t=-\sqrt{1-2m}（m∈（0，\frac{1}{2}）），t∈（-1，0）$，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$g（t）=（t-\frac{3}{4}）{e^t}$在$t∈（0，\frac{1}{2}）$的最值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出其最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）m=1時(shí)，f（x）=x²-2x+lnx
所以${f^/}（x）=2x-2+\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+1}}{x}（x＞0）⇒{f^/}（1）=1，k=1$，∵f（1）=-1，
所以在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+1=k（x-1）=x-1⇒x-y-2=0…（3分）
（Ⅱ）${f^/}（x）=2x-2+\frac{m}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+m}}{x}（x＞0）$
∵2x²-2x+m=0的△=4-8m的對(duì)稱(chēng)軸為$x=\frac{1}{2}$…（5分）
（1）當(dāng)△＜0即$m＞\frac{1}{2}$時(shí)，方程2x²-2x+m=0無(wú)解，
${f^/}（x）=2x-2+\frac{m}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+m}}{x}≥0$在（0，+∞）恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）單增
當(dāng)△=0即$m=\frac{1}{2}$時(shí)，方程2x²-2x+m=0有相等的實(shí)數(shù)解，…（6分）
${f^/}（x）=2x-2+\frac{m}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+m}}{x}≥0$在（0，+∞）恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）單增；
（2）當(dāng)△＞0即$m＜\frac{1}{2}$時(shí)，方程2x²-2x+m=0有解，
解得${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-2m}}}{2}，{x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-2m}}}{2}$
當(dāng)m≤0時(shí)，x₁＜0＜x₂，解不等式${f^/}（x）=2x-2+\frac{m}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+m}}{x}＞0⇒x＞{x_2}$
所以f（x）在（x₂，+∞）單增，在（0，x₂）單減；
當(dāng)$0＜m＜\frac{1}{2}$時(shí)，0＜x₁＜x₂，解不等式$\frac{{2{x^2}-2x+m}}{x}＞0⇒x＞{x_2}或0＜x＜{x_1}$
所以f（x）在（x₂，+∞）單增，在（x₁，x₂）單減，在（x₂，+∞）和（0，x₁）單增，…（8分）
綜上所得：m≤0時(shí)，函數(shù)在（0，$\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}$）單調(diào)遞減，（$\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}$，+∞）單調(diào)遞增；
0＜m＜$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)在（0，$\frac{1-\sqrt{1-2m}}{2}$）單調(diào)遞增，在（$\frac{1-\sqrt{1-2m}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}$）單調(diào)遞減，（$\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}$，+∞）單調(diào)遞增；
m≥$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)在（0，+∞）單調(diào)遞增                                 …（9分）
（Ⅲ）?由（Ⅰ）可知當(dāng)$m∈（0，\frac{1}{2}）$時(shí)函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，（x₁＜x₂），
且x₁，x₂為方程2x²-2x+m=0的兩個(gè)根，
則${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-2m}}}{2}，{x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-2m}}}{2}$，${x_1}-{x_2}=-\sqrt{1-2m}$，
令$t=-\sqrt{1-2m}（m∈（0，\frac{1}{2}）），t∈（-1，0）$，
則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$g（t）=（t-\frac{3}{4}）{e^t}$在$t∈（0，\frac{1}{2}）$的最值，
又∵${g^/}（t）=（t-\frac{3}{4}）{e^t}+{e^t}=（t+\frac{1}{4}）{e^t}$，且$t∈（-1，-\frac{1}{4}）時(shí){g^/}（t）≤0，t∈[{-\frac{1}{4}，0}）時(shí){g^/}（t）≥0$，
…（11分）
所以g（t）在$t∈（-1，-\frac{1}{4}）時(shí)g（t）單減，t∈[{-\frac{1}{4}，0}）時(shí)g（t）單增$，
所以當(dāng)$t=-\frac{1}{4}$時(shí)g（t）最小．
∴$g{（t）_{min}}=g（-\frac{1}{4}）=-{e^{-\frac{1}{4}}}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查切線方程問(wèn)題，是一道綜合題．