Question

11．若實數(shù)x、y滿足x²+y²+2x+2y+1=0，則$\frac{y}{x-1}$的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，0]∪[$\frac{3}{4}$，+∞）
• B． （-∞，0]∪[$\frac{4}{3}$，+∞）
• C． [0，$\frac{3}{4}$]
• D． [0，$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 方程即 （x+1）²+（y+1）²=1，表示一個以C（-1，-1）為圓心、半徑等于1的圓．$\frac{y}{x-1}$表示圓上的點（x y）與點A（1，0）連線的斜率．求出圓的兩條切線方程，可得切線斜率k的范圍．

解答 解：x²+y²-2x-2y+1=0 即 （x+1）²+（y+1）²=1，表示一個以C（-1，-1）為圓心、半徑等于1的圓．$\frac{y}{x-1}$表示圓上的點（x y）與點A（1，0）連線的斜率．
設(shè)圓的過點A的一條切線斜率為k，則切線的方程為 y-0=k（x-1），即 kx-y-k=0．
由圓心到切線的距離等于半徑可得$\frac{|-2k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，k=$\frac{4}{3}$．
另外圓還有一條切線為y=0，故切線的斜率k的范圍為[0，$\frac{4}{3}$]，
則$\frac{y}{x-1}$的取值范圍是[0，$\frac{4}{3}$]，
故選：D．

點評 本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的斜率公式、點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．