Question

18．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右焦點，以F₁，F(xiàn)₂為一邊的等邊三角形△PF₁F₂與雙曲線的兩交點M，N恰好為等邊三角形兩邊中點，則雙曲線離心率為1+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得P為y軸上的點，由等邊三角形的高與邊長的關系和雙曲線的定義可得$\sqrt{3}$c-c=2a，由離心率公式e=$\frac{c}{a}$即可得出．

解答 解：由題意可得P在y軸上，且|PF₁|=|PF₂|=2c，
NF₁是等邊三角形△PF₁F₂的高，
且為$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2c=$\sqrt{3}$c，
由雙曲線的定義可得|NF₁|-|NF₂|=2a，
即為$\sqrt{3}$c-c=2a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=1+$\sqrt{3}$．
故答案為：1+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了雙曲線的定義、等邊三角形的性質(zhì)，運用定義法是解題的關鍵，考查運算能力，屬于中檔題．