Question

8．如圖所示，三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積為20cm³的幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的表面積（單位：cm²）等于（　�。�

• A． 75π
• B． 77π
• C． 65π
• D． 55π

Answer 1

分析 作出幾何體的三視圖，建立空間坐標(biāo)系，求出外接球的球心坐標(biāo)，從而可得外接球的半徑，進(jìn)而求出外接球的表面積．

解答 解：作出三棱錐的三視圖如圖所示：

由三視圖可知AB，AC，AD兩兩垂直，且AB=6，AC=5，AD=h，
∴V_D-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×5×6×h$=20，∴h=4．
以A為原點(diǎn)，以AC，AB，AD為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（0，6，0），C（5，0，0），D（0，0，4）．
設(shè)三棱錐的外接球的球心為M（x，y，z），則MA=MB=MC=MD，
∴x²+y²+z²=x²+（y-6）²+z²=（x-5）²+y²+z²=x²+y²+（z-4）²，
解得x=$\frac{5}{2}$，y=3，z=2，
∴外接球的半徑r=MA=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=$\frac{\sqrt{77}}{2}$，
∴外接球的表面積S=4πr²=77π．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱錐的三視圖，棱錐的體積計(jì)算，球與棱錐的位置關(guān)系，屬于中檔題．