Question

13．已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=$\frac{1}{x}$，若方程f（x）=g（x）-a有且只有一個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值集合為（-1，+∞）．

Answer 1

分析 把方程f（x）=g（x）-a有且只有一個實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為|x-a|+a=$\frac{1}{x}$有且只有一個實數(shù)根，令h（x）=|x-a|+a，t（x）=$\frac{1}{x}$．分類作出兩函數(shù)圖象即可求得實數(shù)a的取值集合．

解答 解：方程f（x）=g（x）-a有且只有一個實數(shù)根，
即|x-a|=$\frac{1}{x}$-a有且只有一個實數(shù)根，
也就是|x-a|+a=$\frac{1}{x}$有且只有一個實數(shù)根，
令h（x）=|x-a|+a，t（x）=$\frac{1}{x}$．
若a=0，則h（x）=|x|，作出函數(shù)圖象如圖1：
方程f（x）=g（x）-a有且只有一個實數(shù)根；
若a＞0，函數(shù)h（x）是把函數(shù)y=|x|的圖象向右向上平移a個單位得到，
作出函數(shù)h（x）與t（x）的圖象如圖2：
對于任意a＞0，方程f（x）=g（x）-a有且只有一個實數(shù)根；
若a＜0，函數(shù)h（x）是把函數(shù)y=|x|的圖象向左向下平移|a|個單位得到，
作出函數(shù)h（x）與t（x）的圖象如圖3：
要使方程f（x）=g（x）-a有且只有一個實數(shù)根，則-1＜a＜0．

綜上，實數(shù)a的取值集合為（-1，+∞）．
故答案為：（-1，+∞）．

點評 本題考查根的存在性與根的個數(shù)判斷，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．