Question

8．如圖所示，△ABC中，直線PQ與邊AB、BC及AC的延長線分別交于點P、M、Q，$\overrightarrow{BM}$=3$\overrightarrow{MC}$，$\overrightarrow{AP}$=$\frac{t}{1-t}$$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{AQ}$=s$\overrightarrow{AC}$，則$\frac{1}{t}$+$\frac{3}{s}$=4．

Answer 1

分析 如圖$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{4t}\overrightarrow{AP}+\frac{3}{4s}\overrightarrow{AQ}$
由P，M，Q三點共線，可得$\frac{1}{4t}+\frac{3}{4s}=1$，即可．

解答 解：如圖$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$
∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{t}{1-t}$$\overrightarrow{PB}$，∴$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}$
又∵$\overrightarrow{AQ}$=s$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{4t}\overrightarrow{AP}+\frac{3}{4s}\overrightarrow{AQ}$
∵P，M，Q三點共線，∴$\frac{1}{4t}+\frac{3}{4s}=1$，
∴$\frac{1}{t}+\frac{3}{s}=4$．
故答案為：4

點評 本題考查了向量的基本定理，三點共線的向量表達式的應(yīng)用，屬于中檔題．