Question

6．已知函數(shù)$f（x）=x+\frac{1}{x}$．
（1）用定義證明f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．

Answer 1

分析 （1）任取1≤x₁＜x₂，我們構(gòu)造出f（x₂）-f（x₁）的表達式，根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)，我們易得出f（x₂）-f（x₁）的符號，進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得到答案．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．

解答 解：（1）設(shè)1≤x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=${x}_{2}+\frac{1}{{x}_{2}}$-x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{2}{x}_{1}-1）}{{x}_{2}{x}_{1}}$，
因為1≤x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，x₂x₁-1＞0，x₂x₁＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）由（1），可得f（x）在[1，4]上的最大值是f（4）=$\frac{17}{4}$，最小值f（1）=2．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中作差法（定義法）證明函數(shù)的單調(diào)性是我們中學(xué)階段證明函數(shù)單調(diào)性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步驟．