Question

1．設a，b∈R，若矩陣A=$（\begin{array}{l}{1}&{a}\\&{0}\end{array}）$的變換把直線l：x+y-1=0變換為另一直線l′：x+2y+l=0．
（1）求a，b的值．
（2）求矩陣A的特征值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知根據矩陣的變換$（\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{1}&{a}\\&{0}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{x+ay}\\{bx}\end{array}）$，求得$\left\{\begin{array}{l}{x′=x+ay}\\{y′=bx}\end{array}\right.$，將x′，y′代入直線l′：x+2y+l=0．列方程求得a和b的值；
（2）由（1）求得矩陣A，寫出A的特征矩陣及特征多項式，令f（λ）=0，即可解得特征值．

解答 解：（1）設直線l：x+y-1=0的點P（x，y）在變換作用下變成P′（x′，y′），
則$（\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{1}&{a}\\&{0}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{x+ay}\\{bx}\end{array}）$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x′=x+ay}\\{y′=bx}\end{array}\right.$，
P′（x′，y′）在直線l′：x+2y+l=0．
所以x+ay+2bx+l=0．
即（2b+1）x+ay+1=0，
所以$\left\{\begin{array}{l}{2b+1=-1}\\{a=-1}\end{array}\right.$，解得：a=b=-1；
（2）由（1）知矩陣A=$（\begin{array}{l}{1}&{-1}\\{-1}&{0}\end{array}）$，
特征矩陣為$（\begin{array}{l}{λ-1}&{1}\\{1}&{λ}\end{array}）$，
特征多項式為f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-1}&{1}\\{1}&{λ}\end{array}|$=λ²-λ-1，
令f（λ）=0，解得：λ₁=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，λ₂=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
矩陣A的特征值λ₁=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，λ₂=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，．

點評 本題考查矩陣的變換，考查二階矩陣的乘法，矩陣特征值的求法，考查計算能力，屬于中檔題．