Question

16．已知圓O為Rt△ABC的外接圓，AB=AC，BC=4，過圓心O的直線l交圓O于P，Q兩點(diǎn)，則$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$的取值范圍是（　�。�

• A． [-8，-1]
• B． [-8，0]
• C． [-16，-1]
• D． [-16，0]

Answer 1

分析 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，BC的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則△ABC外接圓的圓心是BC的中點(diǎn)，半徑r=$\frac{1}{2}$BC，寫出圓O的方程以及$\overrightarrow{BP}$、$\overrightarrow{CQ}$的坐標(biāo)表示，求出$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$的取值范圍即可．

解答 解：【解法一】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，BC的中垂線為y軸，
建立直角坐標(biāo)系，如圖所示；

在Rt△ABC中，AB=AC，BC=4，
所以△ABC的外接圓圓心是BC的中點(diǎn)，半徑為r=$\frac{1}{2}$BC=2，
所以A（0，2），B（-2，0），C（2，0），
圓O的方程為：x²+y²=4；
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，有P（0，2），Q（0，-2），
$\overrightarrow{BP}$=（2，2），$\overrightarrow{CQ}$=（-2，-2），則$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$=-4-4=-8；
當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l為：y=kx，
代入圓的方程可得P（-$\frac{2}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，-$\frac{2k}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$），Q（$\frac{2}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，$\frac{2k}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$），
則$\overrightarrow{BP}$=（2-$\frac{2}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，-$\frac{2k}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$），$\overrightarrow{CQ}$=（$\frac{2}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$-2，$\frac{2k}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$），
所以$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$=（2-$\frac{2}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$）（$\frac{2}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$-2）+（-$\frac{2k}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$）$\frac{2k}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$
=-8+$\frac{8}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，
由1+k²≥1可得0＜$\frac{8}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$≤8，
所以-8＜-8+$\frac{8}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$≤0；
又題目中沒有要求P、Q的具體位置，所以P、Q坐標(biāo)互換時(shí)，
比如，當(dāng)k=0時(shí)，若P（2，0），Q（-2，0），
則向量$\overrightarrow{BP}$=（4，0），向量$\overrightarrow{CQ}$=（-4，0），
所以$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$=-16．
故選：D．
【解法二】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，BC的中垂線為y軸，
建立直角坐標(biāo)系，如圖所示；

在Rt△ABC中，AB=AC，BC=4，
所以△ABC的外接圓圓心是BC的中點(diǎn)，半徑為r=$\frac{1}{2}$BC=2，
所以A（0，2），B（-2，0），C（2，0），
圓O的方程為：x²+y²=4；
設(shè)P（2sinθ，2cosθ），Q（-2sinθ，-2cosθ），
把$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)計(jì)算更簡單．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與坐標(biāo)運(yùn)算問題，以及直線與圓的位置關(guān)系和不等式的性質(zhì)問題，是綜合題．