Question

6．某工地決定建造一批房型為長方體、房高為2.5米的簡易房，房的前后墻用2.5米高的彩色鋼板，兩側(cè)墻用2.5米的高的復(fù)合鋼板．兩種鋼板的價(jià)格都用長度來計(jì)算（即：鋼板的高均為2.5米．用鋼板的長度乘以單價(jià)就是這塊鋼板的價(jià)格）．已知彩色鋼板每米單價(jià)為450元．復(fù)合鋼板每米單價(jià)為200元，房的地面不需另買材料，房頂用其它材料建造，每平方米材料費(fèi)200元，每套房的材料費(fèi)控制在32000元以內(nèi)．
（1）設(shè)房前面墻的長為x（米），兩側(cè)墻的長為y（米），建造一套房所需材料費(fèi)為P（元），試用x，y表示P；
（2）試求一套簡易房面積S的最大值是多少？當(dāng)S最大時(shí)，前面墻的長度應(yīng)設(shè)計(jì)為多少米？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可分別求得前面墻，兩側(cè)墻和房頂?shù)馁M(fèi)用，三者相加即可求得P．
（2）利用P的表達(dá)式和基本不等式求得關(guān)于$\sqrt{S}$的不等式關(guān)系，求得$\sqrt{S}$的范圍，以及等號(hào)成立條件求得x的值．

解答 解：（1）依題得，p=2x×450+2y×200+xy×200=900x+400y+200xy
即p=900x+400y+200xy；
（2）∵S=xy，∴p=900x+400y+200xy≥$2\sqrt{900×400S}$+200S=200S+1200$\sqrt{S}$，
又因?yàn)閜≤3200，所以200S+1200$\sqrt{S}$≤3200，
解得-16≤$\sqrt{S}$≤10，
∵S＞0，∴0＜S≤100，當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{900x=400y}\\{xy=100}\end{array}\right.$，即x=$\frac{20}{3}$時(shí)S取得最大值．
答：每套簡易房面積S的最大值是100平方米，當(dāng)S最大時(shí)前面墻的長度是$\frac{20}{3}$米．

點(diǎn)評 本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決實(shí)際問題的能力．