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15.已知數(shù)列{an}滿足an=3an-1+3n(n≥2,n∈N*),首項a1=3.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn
(3)數(shù)列{bn}滿足bn=log3ann,記數(shù)列{1bnbn+1}的前n項和為Tn,A是△ABC的內(nèi)角,若sinAcosA>34Tn對于任意n∈N*恒成立,求角A的取值范圍.

分析 (1)通過在an3an1=3n兩邊同時除以3n,進而可知數(shù)列{an3n}是首項為a13=1、公差為1的等差數(shù)列,計算即得結論;
(2)通過(1),利用錯位相減法計算即得結論;
(3)通過(1)計算可知bn=log33n=n,進而利用錯位相減法計算可知Tn=1-1n+1,利用Tn<1及二倍角公式化簡可知sin2A32,結合A∈(0,π)計算即得結論.

解答 解:(1)數(shù)列{an}滿足an=3an1+3n(n≥2,n∈N*),
an3an1=3n,
又∵3n≠0,
an3nan13n1=1為常數(shù),
∴數(shù)列{an3n}是首項為a13=1、公差為1的等差數(shù)列,
an3n=n,∴an=n3n(n∈N*);
(2)由(1)可知Sn=3+232+333+434++n13n1+n3n,
3Sn=32+233+334+435++n13n+n3n+1,
兩式錯位相減,得:-2Sn=3+32+33+…+3n-n•3n+1
=313n13-n•3n+1
=-32-2n12•3n+1
∴Sn=34+2n14•3n+1;
(3)由(1)可知an=n3n
∵數(shù)列{bn}滿足bn=log3ann,
bn=log33n=n,
1bnbn+1=1nn+1=1n1n+1,
Tn=112+1213+1314++1n1n+1=11n+1
又∵sinAcosA=12sin2A34Tn恒成立,且對于任意n∈N*,Tn<1成立,
12sin2A34,即sin2A32,
又A∈(0,π),即2A∈(0,2π),
\frac{π}{3}≤2A≤\frac{2π}{3},即A∈[{\frac{π}{6},\frac{π}{3}}]

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和,考查錯位相減法、裂項相消法,涉及三角函數(shù)等基礎知識,對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

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②對于任意給定的點F,存在點E,使得AF⊥A1E;
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