分析 (1)通過在an−3an−1=3n兩邊同時除以3n,進而可知數(shù)列{an3n}是首項為a13=1、公差為1的等差數(shù)列,計算即得結論;
(2)通過(1),利用錯位相減法計算即得結論;
(3)通過(1)計算可知bn=log33n=n,進而利用錯位相減法計算可知Tn=1-1n+1,利用Tn<1及二倍角公式化簡可知sin2A≥√32,結合A∈(0,π)計算即得結論.
解答 解:(1)數(shù)列{an}滿足an=3an−1+3n(n≥2,n∈N*),
∴an−3an−1=3n,
又∵3n≠0,
∴an3n−an−13n−1=1為常數(shù),
∴數(shù)列{an3n}是首項為a13=1、公差為1的等差數(shù)列,
∴an3n=n,∴an=n•3n(n∈N*);
(2)由(1)可知Sn=3+2•32+3•33+4•34+…+(n−1)•3n−1+n•3n,
3Sn=32+2•33+3•34+4•35+…+(n−1)•3n+n•3n+1,
兩式錯位相減,得:-2Sn=3+32+33+…+3n-n•3n+1
=3(1−3n)1−3-n•3n+1
=-32-2n−12•3n+1,
∴Sn=34+2n−14•3n+1;
(3)由(1)可知an=n•3n,
∵數(shù)列{bn}滿足bn=log3ann,
∴bn=log33n=n,
∴1bnbn+1=1n(n+1)=1n−1n+1,
∴Tn=(1−12)+(12−13)+(13−14)+…+(1n−1n+1)=1−1n+1,
又∵sinAcosA=12sin2A>√34Tn恒成立,且對于任意n∈N*,Tn<1成立,
∴12sin2A≥√34,即sin2A≥√32,
又A∈(0,π),即2A∈(0,2π),
∴\frac{π}{3}≤2A≤\frac{2π}{3},即A∈[{\frac{π}{6},\frac{π}{3}}].
點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和,考查錯位相減法、裂項相消法,涉及三角函數(shù)等基礎知識,對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵,注意解題方法的積累,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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A. | (-1,\frac{{{e^2}-1}}{2e-1}) | B. | (1,+∞) | C. | (\frac{{{e^2}-1}}{2e-1},2) | D. | (\frac{{{e^2}-1}}{2e-1},+∞) |
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A. | \sqrt{3} | B. | \sqrt{7} | C. | \sqrt{19} | D. | \sqrt{23} |
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