Question

17．已知復(fù)數(shù)${z_1}=sinx+λi，{z_2}=（{sinx+\sqrt{3}cosx}）-i$（λ，x∈R，i為虛數(shù)單位）．
（1）若2z₁=i•z₂，且$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，求x與λ的值；
（2）設(shè)復(fù)數(shù)z₁，z₂在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的向量分別為$\overrightarrow{O{Z_1}}，\overrightarrow{O{Z_2}}$，且$\overrightarrow{O{Z_1}}⊥\overrightarrow{O{Z_2}}$，λ=f（x），求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)相等及特殊角的三角函數(shù)值即可得出；
（2）利用向量的垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得可得sinx（sinx+$\sqrt{3}$cosx）-λ=0，再利用倍角公式和兩角和差的正弦公式即可化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的周期公式和單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由2z₁=z₂i，可得2sinx+2λi=1+（sinx+$\sqrt{3}$cosx）i，又λ，x∈R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2sinx=1}\\{2λ=sinx+\sqrt{3}cosx}\end{array}\right.$，又$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
故x=$\frac{π}{6}$，λ=1．
（2）由$\overrightarrow{O{Z_1}}⊥\overrightarrow{O{Z_2}}$，可得sinx（sinx+$\sqrt{3}$cosx）-λ=0，
又λ=f（x），故f（x）=$si{n}^{2}x+\sqrt{3}sinxcosx$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$，
故f（x）的最小正周期T=π，
又由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z），可得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)相等及特殊角的三角函數(shù)值、向量的垂直與數(shù)量積的關(guān)系、倍角公式和兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的周期公式和單調(diào)性是解題的關(guān)鍵..